Material para contestar B-14

B14-B18

4. ¿Qué tipos de juicios son los de la matemática? ¿Qué papel atribuye al espacio y al tiempo en la construcción de la matemática?

Kant piensa que en las ciencias hay juicios sintéticos cuya validez puede determinarse a priori (sin recurrir a la experiencia) y que gozan, por tanto, de validez absoluta (universalidad estricta y necesidad). ¿Cuál será el fundamento de su validez, es decir, el fundamento de la conexión necesaria entre los conceptos que aparecen en esos juicios? Veámoslo en los casos de la Matemática y de la Ciencia natural, que Kant examina en la Estética Trascendental y en la Analítica trascendental.
En LA ESTÉTICA TRASCENDENTAL Kant intenta responder a la pregunta: ¿Cómo son posibles los juicios sintéticos a priori en la matemática? Y la respuesta es la siguiente: los juicios sintéticos a priori son posibles en la matemática porque las verdades matemáticas presuponen necesariamente una representación del espacio (geometría) y una representación del tiempo (aritmética), que son representaciones enteramente a priori. De modo que la demostración de la posibilidad de los juicios sintéticos a priori en la matemática depende de la demostración de que: 1) el espacio y el tiempo son representaciones a priori y 2) el espacio y el tiempo son representaciones que están necesariamente presupuestas en las verdades matemáticas.
Se podría pensar que los objetos matemáticos (los números y figuras geométricas) son conceptos abstractos formados a partir de la experiencia, al reparar el entendimiento sobre ciertas propiedades y relaciones que acompañan siempre a las cosas corpóreas y a nuestras operaciones con ellas. Una vez formados estos conceptos podríamos operar analíticamente con ellos, demostrando propiedades y relaciones implícitas en ellos, como hacen el geómetra y el aritmético. Por lo demás, el espacio sería el concepto abstracto obtenido a partir de la experiencia de los “lugares” en los que están las cosas y el tiempo sería el concepto abstracto obtenido a partir de la duración de los movimientos de las cosas en el espacio, lugares y duraciones reales, objetivos.
Sin embargo, Kant piensa que las representaciones de espacio y de tiempo no pueden haber sido obtenidas a partir de la experiencia, sino que la experiencia misma las presupone como representaciones a priori. ¿Cómo demuestra esto? Pues constatando que sin ellas ninguna experiencia es posible y señalando que aquello que posibilita la experiencia no puede ser el resultado de la experiencia. Veamos el caso del espacio.
EL ESPACIO COMO REPRESENTACIÓN A PRIORI Y LA GEOMETRÍA
Veo un paisaje. Este paisaje contiene un bosque y una aldea. El bosque contiene árboles, la aldea, casas y calles. Pero la representación de un árbol contiene la representación de hojas, ramas, tronco...Y la representación de una hoja contiene la sensación de verde (extendiéndose dentro de los límites de cierta figura) que mantiene con otras sensaciones relaciones de distancia y posición. Y así con todos los objetos unitarios que percibimos. Ahora hagamos el siguiente experimento mental: suprimamos mentalmente la sensación de verde y todas las demás sensaciones de color a las que hemos reducido el paisaje. Nos quedan las figuras y las relaciones de distancia y posición entre ellas. Pero ahora suprimamos también las figuras, que, al fin y al cabo, sólo hemos podido conservar porque no hemos eliminado toda sensación, sino que hemos conservado las líneas (quizá negras) que delimitan unas figuras respecto de otras. ¿Qué nos queda? La representación del espacio vacío. Intentemos eliminarla también. No podemos. Por tanto, la representación del espacio es una representación necesaria. Pero ahora consideremos lo siguiente. Con esa representación necesaria del espacio vacío está dada la posibilidad de llenarlo nuevamente con todo lo anterior. Pero si lo intentamos nos daremos cuenta de que hemos de respetar ciertas reglas que rigen a priori. De entrada, no podemos poner color si no es en una figura y donde ponemos una figura no podemos poner otra. Si la figura que ponemos es cuadrada (p.e. la pared de una casa), valdrán para ella todas las proposiciones geométricas que valen para los cuadrados, y así sucesivamente. ¿A dónde queremos ir a parar? A que, según Kant, esta operación de construcción que nosotros estamos fingiendo hacer, la hace nuestra mente cotidianamente cuando percibe. Sólo que no nos damos cuenta. ¿En qué consiste esta operación? En ordenar sensaciones según relaciones de distancia y posición. Obviamente, en el experimento mental de reconstrucción, nosotros ponemos también las sensaciones. En la experiencia real, las sensaciones las producen en nosotros los objetos realmente existentes fuera de nosotros. Pero la ordenación de las sensaciones según relaciones de distancia y posición sólo es posible gracias a nuestra representación a priori del espacio en la que están dadas de antemano (a priori) todas las leyes a las que han de sujetarse todos los objetos que podamos conocer a través de las sensaciones.
Por tanto: el espacio no es una cosa, sino una representación. Todas las cosas están en algún lugar, pero el espacio no está en ningún lugar. Por tanto, el espacio no es una cosa, ni una propiedad de una cosa, ni una relación entre cosas. El espacio es una representación necesaria, a priori, no a posteriori, no derivada de la experiencia. La representación del espacio subyace a toda experiencia posible de cosas externas, lo que se demuestra por el hecho de que puedo imaginar que no haya cosas en el espacio, pero no puedo imaginar una cosa externa fuera del espacio. Aquello que subyace a toda experiencia posible no puede derivar de la experiencia. El espacio no es un concepto, sino una intuición pura (a priori). Un concepto es una representación general, que vale para varias cosas. Una intuición es una representación singular que vale sólo para una cosa. El concepto de gato puede aplicarse a muchos gatos, pero no puedo dividir el concepto de “gato” y obtener muchos gatos. Sin embargo, la representación del espacio es singular. Hay sólo un espacio (infinito), si bien podemos dividirlo en lugares de varios tamaños. Estos lugares son partes del espacio, en el sentido de que son divisiones, no constituyentes del espacio. No puedo formar la representación del espacio añadiendo, componiendo, unos lugares junto a otros, pues “junto a” presupone la representación del espacio. Para enseñarle a alguien lo que es el espacio no puede decirse: “imagina un lugar pequeño, ahora coloca a su izquierda uno igual y otro a su derecha y otro encima ”, pues todas esas expresiones “izquierda, derecha, etc.” presuponen que los lugares a los que se refieren están ya dados. No puede enseñarse la representación del espacio.
Ahora bien, la geometría presupone necesariamente esta intuición pura del espacio. Sus demostraciones sólo son posibles porque disponemos a priori de esta intuición. Los conceptos geométricos no son abstractos, sino que son reglas de construcción de figuras en el espacio. P.e. el concepto de línea recta no contiene otra cosa que un punto moviéndose siempre en una misma dirección. El concepto de circunferencia no contiene otra cosa que un segmento girando sobre uno de sus extremos y el concepto de esfera no contiene otra cosa que una semicircunferencia rotando sobre su diámetro. Pero todas estas operaciones (mover, girar, rotar) ha de hacerlas el entendimiento recurriendo a la intuición del espacio. Si, a continuación, hemos de demostrar, por ejemplo, que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, en vano buscaremos en el concepto de línea recta para extraer analíticamente algo en relación con distancias cortas o largas. Hemos de construir la figura con arreglo a su concepto y extraer el predicado del modo como ha sido construida la figura (con la ayuda de algunas representaciones auxiliares). Las proposiciones de la geometría expresan lo que podemos y lo que no podemos construir, así como lo que se deduce necesariamente de lo construido en el espacio.
EL TIEMPO COMO REPRESENTACIÓN A PRIORI Y LA ARITMÉTICA
El caso del tiempo es algo más complicado. El espacio es la forma a priori de la experiencia externa, aquella en la que se nos dan a conocer los objetos exteriores a nosotros a través del sentido externo. El tiempo, en cambio, es la forma a priori de la experiencia interna, aquella en la que se nos dan a conocer nuestros propios estados internos a través del sentido interno. ¿Por qué? Porque el tiempo es la pura sucesión (ahora, ahora, ahora...) y yo no puedo ser consciente de mis propios estados internos más que sucesivamente, esto es, unos después de otros. Ahora bien, puesto que toda experiencia externa es, al mismo tiempo, una experiencia interna (en la medida en que, cuando yo me represento un objeto externo, soy al mismo tiempo consciente de que me lo estoy representando), el tiempo resulta ser la forma a priori de toda experiencia. Volvamos a nuestro ejemplo del paisaje. Nosotros nos representamos el paisaje con todo lo que contiene existiendo al mismo tiempo (coexistiendo). Pero si queremos recorrer el paisaje reparando en - haciendo consciente - cada una de las cosas que vemos, estamos obligados a hacerlo sucesivamente: ahora veo el tejado de esa casa, ahora la pared, ahora ese árbol, ahora esa hoja de esa rama, etc. No podemos hacerlo de otro modo. La sucesión es la forma como llegamos a ser conscientes de nuestros estados internos, incluso de aquellos estados internos que son representaciones de cosas externas. Intentemos suprimir el tiempo. No podemos hacerlo. Si algo varía en la imagen (una hoja movida por el viento), esa variación será registrada por nosotros según un orden temporal: empezará en t1 y durará hasta tn . Si nada varía en la imagen (durante un tiempo), tendremos la imagen “congelada” del paisaje, pero el tiempo seguirá pasando “por debajo” de ella. Esa imagen “congelada” es un conjunto de sensaciones ordenadas espacialmente. Aunque el contenido cualitativo de las sensaciones sea el mismo en todo instante, en cada instante son sensaciones cuantitativamente distintas.
Por tanto: el tiempo no es una cosa, sino una representación. Todas las cosas están en algún tiempo (empiezan, duran, terminan), pero el tiempo no está en ningún tiempo (no empieza, no dura, no termina). Por tanto el tiempo no es una cosa, ni una propiedad de una cosa, ni una relación entre cosas. El tiempo es una representación necesaria, a priori, no a posteriori, no derivada de la experiencia. La representación del tiempo subyace a toda experiencia posible de cosas externas y de estados internos, lo que se demuestra por el hecho de que puedo imaginar que no ocurra nada en el tiempo, ni fuera ni dentro de mí, pero no puedo imaginar que algo ocurra fuera del tiempo. Aquello que subyace a toda experiencia posible no puede derivar de la experiencia. El tiempo no es un concepto, sino una intuición pura (a priori), ya que hay un único tiempo (infinito), si bien podemos dividirlo en periodos de diferente duración. Estos periodos son partes del tiempo, en el sentido de que son divisiones, no constituyentes del tiempo. No puedo formar la representación del tiempo añadiendo, componiendo, unos lapsos de tiempo después de otros, pues “después de” presupone la representación del tiempo. Para enseñarle a alguien lo que es el tiempo no puede decirse: “imagina una hora, ahora coloca después otra y después otra, y así hasta el infinito ”, pues la expresión “después” presupone la comprensión del tiempo. No puede enseñarse la representación del tiempo.
Ahora bien, las operaciones de la aritmética (sumar, restar, etc.) presuponen necesariamente esta representación de la pura sucesión que es la que permite construir números. Así 5 es el resultado de una construcción, p.e., 3+2, que supone la intuición del tiempo. En vano se buscará en el concepto de la adición de 3+2 su igualdad a 5, pues ese concepto sólo habla de 2 números y de su adición, pero no de un tercero. Hay que realizar la operación mediante un procedimiento constructivo que siempre conllevará algo así como el poner unidades (p.e. dedos o puntos o piedras) unas después de las otras: primero 3 (1,1,1), después 2 (1,1), siguiéndose el resultado 5 del modo como han sido puestas esas unidades. La necesidad de los resultados de las operaciones aritméticas deriva de la existencia de ciertos principios o reglas que son inherentes a nuestra intuición del tiempo y que “guían” nuestras operaciones de poner y quitar unidades (p.e. que dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí (Si a+b=c y d+e=c, entonces a+b=d+e) o que si a lo mismo quitamos o ponemos lo mismo, el resultado es el mismo: (Si (a+b=d+e), entonces [(a+b)+c] = [(d+e)+c]=f). Obviamente la intuición del tiempo también subyace a las construcciones geométricas, puesto que aquellas operaciones de mover puntos, hacer girar líneas, hacer rotar figuras, son operaciones que han de realizarse sucesivamente. Y de ahí la compenetración entre la aritmética y la geometría que se da en la Geometría analítica, donde haciendo corresponder a todo punto un par de números, se pueden determinar líneas rectas, curvas, figuras mediante expresiones algebraicas (ecuaciones).
Así pues, la posibilidad de los juicios sintéticos a priori en la Matemática se demuestra por el carácter a priori de las representaciones (intuiciones puras) del espacio y del tiempo. Y el carácter a priori de las representaciones del espacio y del tiempo se demuestra demostrando que son condiciones de posibilidad de la experiencia y que, como tales, no pueden proceder de la experiencia. Esto es lo que significa que el espacio y el tiempo son formas a priori de la sensibilidad. En esta afirmación se cifra el primer resultado del ensayo de revolución copernicana de Kant, esto es, del ensayo de suponer que no es nuestro conocimiento el que debe adecuarse a los objetos, sino éstos a nuestra facultad de conocer. La Estética ha demostrado la fecundidad de este ensayo, “en lo que atañe a la intuición”, al permitir una explicación (según Kant la única posible) de la universal validez y necesidad de la matemática, así como de la razón por la cual las verdades de la matemática pueden aplicarse sin excepción a todos los objetos de la experiencia sensible. Como no podemos tener experiencia alguna de objetos más que bajo la doble condición del espacio y del tiempo y como todo lo que aparece o se construye en el espacio y en el tiempo aparece o se construye conforme a los principios (de la geometría y de la aritmética) que son inherentes a esas representaciones, el “misterio” de la aplicabilidad de la matemática a la realidad, el hecho de que la Naturaleza sea un libro escrito en lenguaje matemático, como decía Galileo, se explica fácilmente. Sin embargo, este supuesto copernicano lleva consigo una afirmación que, por paradójica, ha sido objeto de muchas interpretaciones. Es la afirmación, que podemos encontrar en el texto, según la cual el objeto de la intuición empírica es siempre un fenómeno, nunca una cosa tal como es en sí misma.

FENÓMENO Y COSA EN SÍ
En efecto, nosotros tendemos a pensar que el espacio y el tiempo son, por decirlo así, receptáculos, ellos mismos objetivos, en los que tienen lugar los objetos y ocurren los hechos de la experiencia. Pero la exposición que Kant hace del espacio y del tiempo en la Estética trascendental establece que espacio y tiempo son representaciones que permiten ordenar otras representaciones (sensaciones), de modo que puedan convertirse en representaciones de objetos como exteriores a nosotros y en representaciones de nuestros propios estados internos, haciendo posible así la experiencia externa e interna. Lo que Kant ha dicho es:
1. que las cosas existen independientemente de nosotros y que poseen cualidades, pero que:
2. las cosas no pasan, con sus cualidades, a nuestra facultad de representar;
3. que lo que pasa a nuestra facultad de representar es el resultado de la afección de nuestros órganos sensoriales por parte de las cosas externas: las sensaciones;
4. que, por tanto, nosotros sólo conocemos las cosas a partir de los efectos (sensaciones) que producen en nuestra capacidad de representar (lo cual no significa que conozcamos sólo las sensaciones, sino que éstas son el vehículo del conocimiento de las cosas);
5. que, en este sentido, conocemos los fenómenos de las cosas, es decir, las cosas tal y como aparecen y que:
6. esto vale no sólo para las llamadas cualidades secundarias, sino también para las cualidades primarias, esto es, para las propiedades de las cosas en cuanto cosas extensas, puesto que también las representaciones de sus figuras contienen sensaciones;
7. que el espacio (y el tiempo) no son, por supuesto, cosas, pero tampoco sensaciones, sino las únicas formas en que nuestra capacidad de representar puede organizar los datos de los sentidos, las sensaciones, formas que han de estar disponibles a priori en nuestra capacidad de representar, puesto que subyacen a toda experiencia haciéndola posible. Y finalmente, como consecuencia de todo lo anterior:
8. que nosotros no podemos decir que no puedan existir objetos que no sean espacio-temporales o que los mismos objetos que nosotros conocemos bajo las condiciones del espacio y del tiempo no puedan ser conocidos fuera de esas condiciones. Pero que si existen objetos inespaciales e intemporales (objetos inteligibles: cosas en sí), nosotros no podemos conocerlos (aunque podemos pensarlos) y que si los mismos objetos que nosotros conocemos bajo aquellas condiciones pueden ser conocidos fuera de ellas (como cosas en sí), no somos nosotros quienes podemos hacerlo.
En este sentido (en el sentido determinado por 1-8) decir que el espacio y el tiempo son formas a priori de la sensibilidad implica que sólo podemos conocer fenómenos, nunca cosas en sí. Que sólo podemos conocer fenómenos significa que sólo podemos conocer las cosas a través de las sensaciones (ordenadas espacio-temporalmente). Pero esto no quiere decir que no podamos conocerlas objetivamente dentro de los límites que a nuestra sensibilidad le marcan su carácter receptivo y sus formas a priori del espacio y del tiempo. Es más: sólo dentro de esos límites tiene sentido plantear la pregunta por la objetividad del conocimiento sensible como pregunta acerca de si hay formas objetivas de ordenar las sensaciones y cuáles son esas formas. Pero, fuera de esos límites, como pregunta acerca de lo que sean las cosas con independencia de nuestras posibilidades de conocimiento, la pregunta por la objetividad del conocimiento carece de sentido para nosotros.